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2020年福建福州九下质检第24题(倒二压轴—圆与等腰直角三角形)试题解析

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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第24题(直角与相似、三角函数)

【福州二检】已知△ABC,AB=AC,∠BAC=90°,D是AB边上一点,连接CD,E是CD上一点,且∠AED=45°.(1)  如图1,若AE=DE, ①求证:CD平分∠ACB; ②求AD/DB的值;

图1(2)  如图2,连接BE,若AE⊥BE,求tan∠ABE的值.

图2


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【图文解析】

(1) ①如下图解:

②如下图解:

得AD:DB=DH:DB=√2:2.(2)法一:将△ACE绕点A顺时针旋转90°,使点C与点B重合,得△ABE′,如下图解:

易证得点E、D、E′三点共线,进一步,得到如下图如示的结论:

所以tan∠ABE=AE/BE=1/2.法二:如下图解(与上述解法本质相同)


法三:如下图解:

易证△ACE∽△CBE,得AE/AC=CE/BC,…,tan∠ABE=…【原题再现】已知△ABC,AB=AC,∠BAC=90°,D是AB边上一点,连接CD,E是CD上一点,且∠AED=45°.(2)  如图2,连接BE,若AE⊥BE,求tan∠ABE的值.

图2

法四~法十:以45°构造等腰直角三角形,与原等腰直角三角形,构造“旋转相似”(难度差别较大)如下图示:

法十一~法十四—……:以45°构造等腰直角三角形,和原等腰直角三角形斜边上的高分成的两直角三角形,构造“旋转相似”(难度差别较大)如下图示:

……,……
思路何止这些?!……其本质是:

有多少个45°的角?多少个等腰直角三角形?数不清了?!如果再通过对称、平移、旋转,如果再引入辅助圆,如果再引入坐标系或网格,如果再通过“一线三等角”,如果……,本题的思路“无解”,不对,是无数多个解!其实并非史无前例,凡是与45°角相关的问题均有这些思路,值得好好体会一下!

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